几十年前，一位数学家为有关素数的难题提出了热身问题。

事实证明，直到现在，这个问题同样难以解决。新的证明揭穿了一个数学家担心可能会困扰数字线的阴谋。通过这样做，它给了他们另一套工具来理解算术的基本组成部分，素数。

在去年3月发表的一篇论文，德国哥廷根大学的Harald Helfgott和加州理工学院的Maksym Radziwił为Chowla猜想的特定公式提出了一个改进的解决方案，一个关于整数之间关系的问题。该猜测预测，一个整数是否具有偶数或奇数素数，并不影响下一个或上一个整数是否也具有偶数或奇数素数。也就是说，附近的数字不会就其一些最基本的算术属性串通。

这种看似直截了当的调查与数学中关于素数本身的一些最深层未决问题交织在一起。加州大学洛杉矶分校的Terence Tao说，证明Chowla猜想是解决这些更棘手问题的“热身或垫脚石”。

然而，几十年来，热身本身几乎是不可能的任务。就在几年前，数学家们才取得了任何进展，当时道证明了这个问题的一个简单版本，称为对数乔拉猜想。但是，尽管他使用的技术被誉为创新和令人兴奋，但它得出的结果不够准确，不足以帮助在相关问题上取得进一步进展，包括有关质数的问题。相反，数学家希望有一个更强大、更广泛适用的证据。现在，Helfgott和Radziwiłł就提供了这一点。他们的解决方案将技术从图论直接推向数字理论的核心，重新燃起了乔拉猜想兑现其承诺的希望——最终带领数学家们思考他们面对一些最难以捉摸的问题。

阴谋论

当数学家思考乘法和加法在素数方面的关系时，出现了数字理论的许多最重要的问题。

素数本身是用乘法定义的：它们除以自身和1以外的数字，当乘以在一起时，它们构造了其余整数。但涉及加法的素数问题困扰着数学家几个世纪。例如，双素数猜想断言，只有2（如11和13）的素数有无限多。这个问题具有挑战性，因为它连接了通常相互独立的两种算术运算。

“这很难，因为我们混合了两个世界，”他说Oleksiy Klurman布里斯托尔大学。

直觉告诉数学家，向数字中添加2应该完全改变其乘法结构——这意味着数字是否为素数（乘法属性）和数字两个单位是否为素数（加法属性）之间不应该有相关性。数字理论家没有发现任何证据表明存在这种相关性，但没有证据，他们无法排除最终出现这种相关性的可能性。

“据我们所知，可能存在这种巨大的阴谋，每次都有一个数字n决定成为黄金，它与邻国有一些秘密协议n + 2说你不再被允许成为黄金人，”陶说。

没有人接近排除这种阴谋。这就是为什么在1965年，Sarvadaman Chowla制定了一种稍微容易思考附近数字之间关系的方法。他想表明，整数是否具有偶数或奇数的素数——一种被称为素数数的“奇数”的条件——不应以任何方式偏向邻居的素数数。

这个语句通常从Liouville函数来理解，如果整数为奇数素数（如12，等于2×2×3），则给整数赋值为−1，如果它们有偶数（如10，等于2×5），则为+1。该猜测预测，Liouville函数对连续数字的值之间不应该有相关性。

在测量奇偶校验时，许多研究素数的最先进方法都会分解，这正是乔拉的猜测。数学家希望通过解决这个问题，他们能够发展出可以应用于孪生素数猜想等问题的想法。

然而，多年来，它仍然只是这样：一种幻想的希望。然后，在2015年，一切都变了。分散集群

Radziwił和Kaisa Matomäki芬兰图尔库大学没有着手解决乔拉猜想。相反，他们想研究Liouville函数在短时间内的行为。他们已经知道，平均而言，函数是一半时间的+1和一半时间的-1。但其值仍然有可能聚集在一起，以所有+1或所有-1s的长浓度出现。

2015年，Matomäki和Radziwiłł证明这些集群几乎从未发生过。第二年发表的他们的工作确定，如果你选择一个随机数字，看看（比如）它的十到千个最近的邻居，大约一半有偶数的素数，一半的奇数。

“这就是谜题中缺少的大块，”说蒙特利尔大学的安德鲁·格兰维尔。“他们取得了这一令人难以置信的突破，彻底改变了整个主题。”

这有力地证明，数字不是大规模阴谋的同谋——但乔拉猜想是关于最高层次的阴谋。这就是陶进来的地方。几个月内，他看到了一种方法，可以借鉴Matomäki和Radziwiłł的工作来攻击一个更容易研究的问题版本，即对数的Chowla猜想。在这个公式中，较小的数字被赋予更大的权重，因此它们与较大的整数一样有可能被采样。

陶对对数乔拉猜想的证明有一个愿景。首先，他假设对数乔拉猜想是错误的——事实上，连续整数的素数数之间存在阴谋。然后，他试图证明这种阴谋可以放大：乔拉猜想的例外不仅意味着连续整数之间的阴谋，还意味着沿着数字线的整个部分的阴谋大得多。

然后，他将能够利用Radziwiłł和Matomäki早些时候的结果，这些结果排除了这种更大的阴谋。Chowla猜想的反例将意味着逻辑矛盾——这意味着它不可能存在，这个猜想必须是真的。但在陶能做到这一点之前，他必须想出一种新的数字连接方式。

谎言之网

Tao首先利用了Liouville函数的定义特征。考虑数字2和3。两者都有奇数的素数，因此利欧维尔的值为-1。但由于Liouville函数是乘法的，2和3的倍数也彼此具有相同的符号模式。

这个简单的事实具有重要的含义。如果由于一些秘密阴谋，2和3都有奇数的素数，那么4和6之间的阴谋——数字不是1，而是2。情况就更糟了：相邻整数之间的阴谋也意味着其倍数的所有对之间的阴谋。

Tao说：“对于任何黄金时期，这些阴谋都会传播。”

为了更好地了解这个不断扩大的阴谋，陶从图表的角度思考了它——一个由边缘连接的顶点集合。在这个图表中，每个顶点代表一个整数。如果两个数字因素数而异，并且也因该素数而可除，则它们由边缘连接。

例如，考虑数字1,001，它可以被素数7、11和13整除。在Tao的图表中，它与1,008、1,012和1,014（加法）以及994、990和988（减法）共享边缘。这些数字中的每一个反过来都连接到许多其他顶点。

总而言之，这些边缘编码了更广泛的影响力网络：连接的数字代表了Chowla猜想的例外，其中一个整数的分解实际上确实偏向了另一个整数的分解。

为了证明他对乔拉猜想的对数版本，陶需要表明这个图表有太多的联系，无法成为刘维尔函数值的现实表示。用图论的语言来说，这意味着表明他的相互关联的数字图具有特定的属性——它是一个“扩展”图。

扩展器步行

扩展器是衡量阴谋范围的理想标准。这是一个高度连接的图表，尽管与顶点数量相比，它的边缘相对较少。这使得很难创建一组与图表的其他部分相互作用不大的相互关联的顶点。

如果Tao能够证明他的图表是本地扩展器——图表上的任何给定社区都有此属性——他会证明，对Chowla猜想的一次违反将蔓延到数字线上，这明显违反了Matomäki和Radziwiłł的2015年结果。Tao说：“产生相关性的唯一方法是，如果整个人口都分享了这种相关性。”

证明图表是扩展器通常转化为研究沿其边缘的随机行走。在随机散步中，每个连续的步骤都是由偶然决定的，就像你在城市里徘徊，在每个十字路口翻硬币来决定是左转还是右转一样。如果那个城市的街道形成了一个扩张者，那么通过相对少的步骤随机散步，几乎可以到达任何地方。

但走在涛的图表上是奇怪而迂回的。例如，不可能直接从1001跳到1002；这至少需要三个步骤。沿着这个图的随机行走从整数开始，加减除以它的随机素数，然后移动到另一个整数。

显然，仅重复几次这个过程会导致给定社区的任何点，如果图表真的是一个扩展器，情况应该如此。事实上，当图上的整数足够大时，甚至不再清楚如何创建随机路径：将数字分解为主要因素，从而定义图的边缘——变得非常困难。

Helfgott说：“算着所有这些散步，这是一件可怕的事情。”

当陶试图证明他的图表是一个扩展器时，“这有点太难了，”他说。相反，他开发了一种基于熵的随机度量的新方法。这让他能够规避展示扩展器属性的需要——但要付出代价。

他可以解决对数的乔拉猜想，但并不精确。在猜测的理想证明中，整数之间的独立性应该始终是显而易见的，即使是沿着数字行的一小部分。但根据Tao的证据，除非你通过天文数的整数进行采样，这种独立性才会变得明显。

“在数量上不是很强，”说Joni Teräväinen图尔库大学。

此外，不清楚如何将他的熵方法扩展到其他问题。

“道的工作是一个彻底的突破，”他说James Maynard牛津大学，但由于这些限制，“它不可能给出那些会导致朝着问题方向迈出自然下一步的东西，更像双素数猜想。”

五年后，Helfgott和Radziwiłł设法做了Tao做不到的事情——进一步扩展了他确定的阴谋。

加强阴谋

陶建了一个图，如果两个整数因素数而不同，并且被该素数整除，则该图连接起来。Helfgott和Radziwiłł考虑了一个新的“天真”图表，它消除了第二个条件，仅当一个和另一个减去一个数时，就连接数字。

效果是边缘爆炸。在这个天真的图表上，1001个与其他顶点不仅有六个连接，而且有数百个。但这个图表在关键方面也比陶氏简单得多：沿着它的边缘随机行走不需要了解非常大整数的素除数。再加上边缘密度的增加，更容易证明天真的图中的任何社区都有扩展器属性——您可能会通过少量随机步骤从任何顶点到达任何其他顶点。Helfgott和Radziwiłł需要证明这个天真的图接近了Tao的图。如果他们能证明这两个图表相似，他们就可以通过查看他们的图表来推断道的图表的性质。由于他们已经知道他们的图表是本地扩展器，他们能够得出结论，Tao的也是（因此，对数Chowla猜想是正确的）。

但鉴于天真的图表的边缘比陶的要多得多，即使存在的话，这种相似之处就被埋葬了。

“当你说这些图表看起来相似时，这甚至意味着什么？”Helfgott说。

隐藏的相似之处

虽然图表表面上看起来并不相似，但Helfgott和Radziwiłł开始通过在两个视角之间翻译来证明它们彼此近似。在其中一个国家，他们把图表视为图表；在另一个国家，他们把它们视为称为矩阵的对象。

首先，他们将每个图形表示为矩阵，矩阵是一组值，在这种情况下，对顶点之间的连接进行编码。然后，他们从表示道图的矩阵中减去表示天真的图的矩阵。结果是一个矩阵，表示两者之间的差异。

Helfgott和Radziwiłł需要证明与该矩阵相关的某些参数，称为特征值，都是小的。这是因为扩展器图的一个定义特征是，其关联矩阵有一个大的特征值，而其余矩阵则明显较小。如果Tao的图表像天真的图表一样是一个扩展器，那么它也将有一个大的特征值——当一个矩阵从另一个矩阵中减去时，这两个大特征值几乎会抵消，留下一组都很小的特征值。

但特征值本身研究起来很棘手。相反，证明该矩阵的所有特征值都很小的等效方法涉及返回图论。因此，Helfgott和Radziwiłł将这个矩阵（代表其天真的图的矩阵和Tao更复杂的矩阵之间的差异）转换为图本身。

然后，他们证明，这张图表包含一些随机步行——一定长度，符合其他少数属性——这些随机步行可以追溯到他们的起点。这意味着陶氏图上的大多数随机行走基本上抵消了天真的扩展器图上的随机行走——这意味着前者可以由后者近似，因此两者都是扩展器。

前进的道路

Helfgott和Radziwiłł对数Chowla猜想的解决方案标志着Tao结果的定量显著改善。他们可以对更少的整数进行采样，以得出相同的结果：整数素因子数的奇偶校验与其邻居的奇偶校验无关。

“关于素数和可分性看起来如何随机，这是一个非常有力的声明。”Ben Green牛津大学。

Matomäki说，但这项工作可能更令人兴奋，因为它提供了“解决问题的自然方法”——这正是Tao六年前最初希望的直观方法。扩展器图之前在理论计算机科学、群论和其他数学领域取得了新的发现。现在，Helfgott和Radziwiłł也为数字理论问题提供了它们。他们的工作表明，扩展器图能够揭示算术的一些最基本的性质——消除潜在的阴谋，并开始解开加法和乘法之间的复杂相互作用。

Maynard说：“突然，当你使用图形语言时，它看到了你事先无法真正看到的所有这些结构。”“这就是魔力。”

原创故事 经许可重印 Quanta Magazine，编辑上独立的出版物 西蒙斯基金会 其使命是通过报道数学、物理和生命科学的研究发展和趋势来提高公众对科学的理解。