几何体外接球的必备知识

1. 三角形外接圆的半径公式：

2. 正方形或者长方形的体对角线的一半为其外接球的半径；

3. 利用任意平面去截取一个球，所得的截面一定是一个圆；

4. 在球中任意一个圆面的圆心与球心的连线所在的直线会垂直于这个圆面；任意两个平行的圆面的圆心的连线必过球心，且连线所在的直线垂直于两个圆面；

5. 不共面的四点确定唯一的球；

6. 对于锥体，底面多边形必须要共圆，此时锥体才有外接球，因为不同线的三点确定唯一的圆，因此三棱锥必有外接球；

7. 对于棱柱，只有底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。

求解外接球半径的五大模型

求解几何体的外接球主要有五种模型，这五种模型所对应的方法并不是各自孤立的，而是有交叉的，即同一个题目可能用下面的2-3个模型都可以解，这点务必要清楚。

模型一：补长方体或正方体

具有以下三种特点的四面体，可以通过补长方体的方法，求出长方体的长宽高，再利用长方体的体对角线是其外接球半径的一半，继而得到长方体的外接球半径，即为所求几何体的外接球半径。

1. 全等体

全等体为每个面均为全等三角形的四面体

全等体最为显著的特点就是对棱长相等，这也就是为什么可以将全等体补成长方体的原因，并且全等体的棱长，即为所补长方体的面对角线长，具体如图下：

PA=BC，PB=AC，PC=AB

备注：全等体还有一个特点就是：对棱中点的连线是这两条对棱的公垂线

2. 墙角体

墙角体是指四个面中有三个面是直角三角形的四面体

墙角体总共分三种情况，具体如下：

练习：已知三棱锥A-BCD的外接球为球O，▲ABC与▲ACD都是以AC为斜边的直角三角形，▲BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，且BD=，向量DA与AB的夹角为120°，则球O的表面积为多少？

3. 鳖臑体

鳖臑体是指四面体中四个面均为直角三角形

鳖臑体的特点是分别有两条棱垂直于两个面，如下图所示：

PA⊥AB，PA⊥AC，BC⊥AB，BC⊥PB

模型二：侧棱垂直于底面

此类模型常用于求解侧棱垂直于底面的问题，涉及的求解公式为“R2=()2+r2”,其中R为外接球半径，h为棱锥的高(即垂直于底面的侧棱长)，r为底面外接圆的半径。

备注：

① 用模型二务必确保有一条侧棱垂直于底面，而侧面垂直于底面(即：侧面的两条棱不垂直于底面的情况)是不能用这种模型的；

② 直棱柱的外接球问题可以用模型二来求解，即可以将棱柱的问题转化为棱锥的问题解决，将棱柱的两个底面中的一个作为棱锥的底面，棱柱的一个侧棱作为棱柱的高，具体如下图所示：

BD⊥CD，则球O的体积为多少？

练习2：已知A，B，C为球O的球面上的三个点，圆⊙O1为▲ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π，AB=BC=AC=OO1，则球O的表面积为

模型三：顶点在底面的射影与底面外接圆的圆心重合，或者侧棱长相等

当棱锥的顶点在底面的射影与底面外接圆重合时，或者是侧棱长相等，都可以用模型三来求解，涉及到的求解公式为：R2=(R-h)2+r2，其中R为几何体外接球半径，h为几何体的高，r为底面外接圆的半径。

备注：因为正n棱锥的顶点在底面的射影与底面外接球的半径重合，所以正n棱锥的外接球半径的计算可以利用该模型。

如下图，O1是▲ABC的外接圆圆心，连接PO1，可知PO1⊥面ABC

在Rt▲AHP，Rt▲BHP，Rt▲CHP中

∵ PA=PB=PC，且三个Rt▲有公共直角边PA

∴ 由勾股定理可得：

AH=BH=CH

∴ H为▲ABC的外心，即外接圆的圆心

这就说明P在面ABC内的射影H与▲ABC的外心重合，因此可以利用模型三来计算几何体的外接球的半径。

模型四：找球心法

找球心法适用于含有一个公共斜边的两个直角三角形，则公共斜边的中点即为外接球的球心，其本质是利用了几何体的外接球的球心到各顶点的距离相等而得到的。

如下图：已知PA⊥PC，AB⊥BC

作AC的中点O，连接OP和OB

∵ ▲APC为直角三角形，

∴ OP=OA=OC

∵ ▲ABC为直角三角形，

∴ OB=OA=OC

∴ OP=OA=OB=OC

∴ O为三棱锥P-ABC的外接球的球心

练习1：三棱锥P-ABC， PA⊥PB，AC⊥BC，且AB=6，求三棱锥P-ABC的外接球表面积

练习2：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为

模型五：万能公式

万能公式法顾名思义，可以用这个公式求解所有几何体的外接球问题(当然几何体必须有外接球的才可以)，不过由于公式本身比较难记，且有些量比较难求，所以这类方法主要适用于锥体或者柱体中含有面面垂直，并且两个面的各条棱都不垂直于交线的问题(如果垂直于交线的用模型二即可解决)。