单纯的集合只是包含了一些元素，没有结构。线性空间是一种至少具备加法和数乘两种运算（叫做线性运算）的集合，而且集合元素在这两种运算下封闭（集合元素的线性组合还在集合内），所以称其为“线性空间”。有时候又把线性空间叫做向量空间，因为任意线性空间的元素都可以用向量(vector)来表示。换句话说，只要认识了向量空间，又就搞清楚了线性空间。

“线性空间”这种结构是数学里比较基本的一种结构。比如，实系数多项式构成的集合是一个线性空间；复数可以看成是实数域上的线性空间；大小相同的矩阵构成了一个线性空间等等。当然，这些数学对象还有其他的运算和性质，但研究清楚了线性空间对理解这些数学对象也是很有帮助的。还有我们前面文章里提到的汉明码也是一个线性空间，是有限域上构造出来的满足特定性质的线性空间。

下面来说两个线性空间的知识。

第一个需要知道的是“维数”，线性空间里的元素都是“少数”元素的线性组合，比如，实系数多项式都是里元素的线性组合；复数则是的线性组合等等。如果这些生成线性空间的集合里的元素之间不能互相线性表示的时候（即线性独立），我们称这些个集合为基（basis）。基里面元素的个数成为这个线性空间的维数。比如实系数多项式构成的线性空间是无穷多维的，复数在实数域上是二维的等等。维数是反映线性空间大小的一个参数。

第二个需要知道的是“子空间”，如果一个线性空间包含在更大的线性空间里，则把这个线性空间叫做更大的线性空间的子空间。有的时候，我们需要找到一些有趣的子空间，比如次数小于三的实系数多项式是所有多项式的一个子空间，这里面的元素我们都可以方便的用求根公式来求根。有的时候，我们需要模掉一个不太有趣的子空间，比如U是V的一个子空间，在一个线性映射T的作用下，U里的元素的象都是0，这种情况下，不同的元素在T的作用下有可能映射到同一个元素上，但如果我们模掉这个子空间，定义，这样，T便成了定义在U的陪集（cosets）上的一个单射（injective）了（即每个元素的象都不一样）。

你知道哪些有趣的关于线性空间的应用呢？