解构神奇的印度乘法速算

（之五）

今天给大家带来的是印度乘法速算中计算最为简单的特殊模式之一的：“个位都是“1”的两位数乘两位数”的算理解构。

“个位都是“1”的两个两位数”，就是这两个数的个位都是“1”，比如“31×61”，“21×51”，以及个位为“1”的两位数的完全平方，如“812”。符合这种模式的两位数乘法，只用做一次乘法和一次错位加法，就能够快速得到结果。

由于两个乘数的个位都是“1”，所以我们可以将这两个两位数分别表示为“a×10+1”和“b×10+1”，（例如：31×61时，可以把31表示为“3×10+1”，把61表示为“6×10+1”）：

与前面的文档一样，我们用代数的方法将它们相乘如下：

观察这个结论式：

“×100”表示的就是百位上的数值，这里需要注意的是十位两数相加会产生进位，

“×10”表示的就是十位上的数值，

“×1”表示的就是个位上的数值，

“a×b”，就是十位相乘，

“a+b”，就是十位相加，

由于它们的个位始终是“1”，所以只需考虑十位和百位，注意百位上不要忘了加进位哟。我们就得到了下面的结论：

个位填“1”

两个乘数的十位相加得到积的十位和百的进位；

两个乘数的十位相乘再加上进位得到积的百位和千位；

用图形表示如下：

整个计算过程，只需要进行一次加法和一次乘法加进位，就可以“秒出答案”。这里我们注意到，由于两个1位数的和进位最大只有“1”，所以在填写百位和千位时，只有两个可能，要么是两个乘数的十位相乘的积，要么是这个积加1，熟练以后甚至不用计算。

这就是数学的神奇之处，这种神奇，在数学的奇遇中层出不穷，从计算到几何，从求解方程到看似复杂的问题，一旦你看透了它的本质，就可以“秒出答案”。